Главная Статьи Математика Линейная алгебра

Линейная алгебра

Линейная алгебра как отдельная отрасль математического знания занимается изучением таких специфических направлений как: системы линейных уравнений — представляются одной из основополагающих тем современной математики. Вычислительные алгоритмы для нахождения решений являются важной частью вычислительной линейной алгебры, а методы, рассматриваемые в этом направлении являются неотъемлемыми при изучении таких дисциплин как инженерия, физика, химия, компьютерная наука, экономика. Система нелинейных уравнений зачастую может быть аппроксимационной, то есть приближенной к системе линейных уравнений и между тем полезной при создании математического или компьютерного моделирования.

Векторы и матрицы в линейной алгебре

Векторы и матрицы — используются для описания линейных уравнений, включают в себя такие понятия как коэффициент, линейное отображение, которые в свою очередь определяются многочисленными параметрами. Как векторы, так и матрицы представляются ключевыми понятиями линейной алгебры.

Линейная независимость, линейное подпространство, базис и размерность — в линейной алгебре под линейной независимостью понимается система векторов, не один из которой не написан в линейной комбинации, в противном случае подобная система будет называться линейной зависимостью. Линейное подпространство — это отдельное пространство, которое создается в соответствии с особенностями содержания. В линейной алгебре распространен процесс создания нескольких форм подпространств. Под базисом понимается система векторов, существующая в соответствии с линейной комбинацией. Базис рассматривает каждый вектор в соответствии с определенным пространством, где он существует. Другими словами, базис можно определить в качестве границ линейной независимости.

Линейное отображение, замена базиса и аналогия — линейное отображение или линейный оператор — это функция, существующая между двумя векторными пространствами, которая отвечает за векторное сложение и скалярное умножение. Линейное отображение называют также гомоморфизмом векторных пространств.

Пространство матрицы, нулевое пространство, упорядоченность - в линейной алгебре под пространством матрицы понимают пространство такой матрицы, которая создается в соответствии со всеми возможными линейными комбинациями векторов-столбцов. Упорядоченность представляет собой максимальное число линейно-независимых столбцов и строк (в матрице). Векторное пространство — система векторов, которая может быть масштабной и способной к добавлению новых векторов. В рамках данного направления ключевыми понятиями являются «добавление» и «умножение», соответственно. Помимо линейной алгебры, векторное пространство изучается и в области инженерии.

Собственное значение и собственный вектор — в линейной алгебре собственный вектор представляет собой линейное отображение с ненулевым вектором (возможно изменение длины вектора, но не его направления). Ортогональность и скалярное произведение области пересечения — если векторы являются перпендикулярными, то есть образуют прямой угол, то они называются ортогональными. Произведение области пересечений представляет собой векторное пространство с дополнительной структурой скалярного произведения. Эта добавочная структура связывает каждую пару векторов в пространстве со скалярным значением , которое также называют скалярным произведением векторов. В рамках скалярного произведения имеют место такие геометрические понятия как длина вектора или угол, образованный двумя векторами.

Квадратичная форма и симметричные матрицы — квадратичная форма — это однотипный многочлен степени нескольких переменных. А симметричные матрицы являются эквивалентными квадратным. Таким образом, можно заключить, что линейная алгебра является сложной, многофункциональной, но между тем, чрезвычайно необходимой отраслью математического знания.